El Modelo Holográfico Generalizado, Parte I: El Principio Holográfico

^{Por Dra. Inés Urdaneta / Fisíco de Resonance Science Foundation}

El principio holográfico es una de las primeras introducciones a la idea que la información puede estar presente de forma holográfica dentro de ciertas estructuras del universo, a saber, los agujeros negros. En este punto, hemos notado cómo la narrativa científica ha ido cambiando progresiva y sutilmente de términos como energía, fuerzas, partículas y campos, a esta palabra: información.

Cuando pensamos en información, pensamos en ordenadores y programación y en bits de información, expresados en valores de 0 o 1 en un sistema binario. Todo esto es un subconjunto de un campo más amplio llamado teoría de la información, cuyo objetivo es explicar todas las características de la realidad como emergentes del intercambio de información y sus propiedades.

En esta primera parte profundizaremos en el principio holográfico, mediante un breve resumen de la historia y el desarrollo del principio holográfico que constituye el concepto fundamental del modelo holográfico generalizado desarrollado por Nassim Haramein [1-3], el cual da una solución cuantizada a la masa y la gravedad.

^{Entropía y Termodinámica de un Agujero Negro}

El principio holográfico tiene su origen en los trabajos de David Bohm [4,5], que sugirió que cada región contiene una "estructura" total envuelta en ella. Bohm equiparó esta idea con la estructura del Universo, al que se refirió como un holograma, basándose en su analogía con la holografía óptica (véase el siguiente documental de 2020 sobre David Bohm, que es excelente e importante en el contexto de la física unificada).

Esta "estructura" contenida o empaquetada dentro de cada región o volumen también puede describirse en términos de su contenido de información, lo que la conecta con la entropía, ya que desde la perspectiva de la teoría de la información, la entropía es una medida del contenido de información en un sistema.

Cuando se aplican estas ideas a los agujeros negros, nos encontramos con el siguiente problema: la corriente predominante afirma que no se puede acceder directamente al contenido de un agujero negro porque todo lo que llega a él queda "atrapado" en su interior. Por lo tanto, según este punto de vista, un observador externo está limitado por la aparente imposibilidad de acceder a la dinámica y al contenido del interior de un agujero negro. Esto ha impedido a los físicos abordar el interior del agujero negro y no está claro qué ocurre con la información que cae en él. Se ha supuesto que la información que cae en un agujero negro se pierde, pero eso violaría las leyes de la teoría de la física cuántica que establecen que la entropía o la información no pueden destruirse. Esto establece lo que se conoce como la paradoja de la información, que Stephen Hawking, entre otros, han tratado de resolver desde entonces.

Para abordar las cuestiones planteadas anteriormente, Bekenstein propuso que la entropía o la información de una región determinada del espacio está limitada por la superficie de su límite, lo que parecía resolver el problema porque un observador externo puede acceder a este límite. Por lo tanto, se podría acceder a toda la información contenida en el volumen desde la superficie, ya que estaría impresa holográficamente en ella. Bekenstein propuso [6-8] que la entropía S o la información contenida en un determinado volumen de espacio, como un agujero negro, sería proporcional a la superficie de su horizonte, A, expresada en unidades cuadradas del área de Planck como l² 

Luego, tras cálculos adicionales considerando la termodinámica y la entropía de los agujeros negros (ver el Apéndice A al final de esta sección para una explicación más detallada), la entropía de Bekenstein-Hawking de un agujero negro expresada en unidades de área de Planck se definió como:

donde el área de Planck es el cuadrado del área l² tomada como una unidad de entropía y A es la superficie del agujero negro.

Bekenstein [9] planteó además la existencia de un límite superior universal para la entropía de un sistema arbitrario con un radio máximo r,

donde E es el contenido energético,  (también conocida como la constante de Planck reducida) es  y c es la velocidad de la luz en el vacío. Suponiendo E = mc², encontró que este límite máximo es equivalente a la entropía de Bekenstein-Hawking para un agujero negro.

Esta idea de una entropía máxima definida por el límite de Bekenstein, junto con los argumentos de conservación de la energía, condujo finalmente a un principio holográfico descrito por 't Hooft  [10-12] y posteriormente desarrollado por Susskind [13]. Al estudiar las características mecánico-cuánticas de los agujeros negros y la tercera ley de la termodinámica que relaciona la entropía con el número total de grados de libertad (el número de formas independientes en que un sistema dinámico puede moverse sin violar ninguna restricción que se le imponga), 't Hooft demostró que la entropía cuenta directamente el número de grados de libertad binarios (conocidos formalmente como grados de libertad booleanos, que toman valores de 0 o 1) y concluyó que los grados de libertad relevantes de un agujero negro no deben superar 1/4 de la superficie total y, por tanto, la entropía máxima de un agujero negro es A/4.

Es decir, "una región con una superficie límite de área A está descrita completamente por no más de A/4 grados de libertad, o aproximadamente 1 bit de información por área de Planck". Véase la imagen de abajo para mayor claridad.

^{Imagen: descrito en negro tenemos el horizonte de sucesos del agujero negro, en amarillo una área de Planck y en azul una unidad de Entropía.}

Sin embargo, como señala Bousso [12], el contenido de información del volumen superará al de la superficie para todos los sistemas mayores que la escala de Planck (por ejemplo, para un protón, el contenido de información del volumen -número de PSU´s en el volumen- es mayor que el contenido de información del área -PSU´s en la superficie- por un factor de 10²⁰). Así, el resultado obtenido cuando se considera sólo la superficie está en desacuerdo con el número mucho mayor de grados de libertad estimado cuando se considera el volumen. Se cuestiona entonces si la entropía de Bekenstein-Hawking cuenta todos los estados booleanos del interior de un agujero negro o sólo los distinguibles para el observador externo.

_{... nota al margen sobre la termodinámica y negentropía}

Debemos recordar que nuestras leyes actuales de la termodinámica sólo se aplican a sistemas cerrados y aislados. Si el Universo no es un sistema aislado, puede, por tanto, intercambiar información, y la noción de entropía tal como la entendemos sufre una revolución. La idea de un orden que sólo se localiza aparentemente en pequeñas regiones del espacio a costa de desordenar el resto del universo, lo que da lugar a un estado final de energía uniformemente repartida y de equilibrio térmico total, ya no se sostiene y la sintropía (negentropía u orden) se convierte en la generalidad. Es decir, que el aparente desorden que lleva al universo al estancamiento final y a la muerte térmica es un malentendido causado por estas creencias limitantes: 1) el universo se considera un sistema cerrado y aislado, y 2) toda la información del sistema es ignorada por el observador local, ¡aunque no por el universo! Lo único que es local es el desorden aparente; percibimos el resto del universo como desordenado porque somos incapaces de seguir su complejidad y alto orden de organización.

_{El principio holográfico Generalizado de Nassim Haramein}

El enfoque holográfico generalizado de Nassim Haramein da una solución cuantizada a la masa y la gravedad en términos de Unidades Esféricas de Planck (PSU). En estos trabajos [1-3], Haramein definió una unidad de volumen esférico o voxel para el espacio que denominó Unidad Esférica de Planck (PSU), que es la unidad fundamental de energía. La PSU representa un quantum de oscilación electromagnética y también representa un bit de información. Un bit es una unidad de información, que puede ser la posición o la dirección de una partícula, en este caso, de una PSU.

Su propuesta queda resumida en la siguiente figura, donde r_l es la mitad de la longitud de Planck l y r es el radio de cualquier esfera más grande que una PSU.

El enfoque de Haramein describe el sistema considerado (como una PSU, un protón, un electrón o el Universo) como un objeto esférico, y esta aproximación de primer orden ha demostrado ser una suposición muy buena. Al embaldosar la superficie y rellenar el volumen de dicho sistema esférico con estas PSU´s, se obtiene la figura anterior, que también muestra las expresiones de las densidades de superficie y volumen con respecto a las PSU´s.

El número de PSU´s que pueden embaldosar la superficie del objeto esférico considerado, se expresa mediante la letra griega eta (η) que representa una densidad de superficie la cual da el contenido de información/entropía de la superficie en términos de PSU´s. Para calcular η debemos dividir la superficie del objeto, A ( = 4π r²), por el área ecuatorial  de una PSU con radio r_l que es la mitad de la longitud de Planck l. En notación matemática, esto se escribe como r_l = l / 2. Como en el marco de la teoría de la información, la entropía es una medida del contenido de información en un sistema, η también se asocia con la entropía de la superficie.

Además, podemos encontrar la densidad de volumen o el contenido de información (es decir, la entropía) dentro del volumen del sistema esférico dividiendo su volumen (representado por la letra V) por el volumen de una PSU. Así se calcula el número de PSU´s que pueden llenar el volumen V, cantidad que representamos con la letra R. El volumen de un objeto esférico de radio r es V = (4 /3)πr³  y la misma fórmula calcula el volumen de una PSU utilizando su radio r_l.

Con estas densidades muy simples que hemos denominado entropía de superficie η y la entropía de volumen R, obtenemos la relación holográfica fundamental superficie-a-volumen ɸ = η / R que se muestra en la figura anterior, que es una relación adimensional que expresa la entropía entre la superficie y el volumen, y representa el potencial de transferencia  de información o la tasa de intercambio de información entre el volumen y la superficie del sistema esférico. Esta relación holográfica ɸ es el concepto principal de la teoría holográfica generalizada. Las soluciones holográficas generalizadas presentadas en sus trabajos publicados demuestran que es esta relación la que explica la aparición de características como la masa y la gravedad.

RSF en persectiva:

En resumen, vemos que el principio holográfico desarrollado por el enfoque de la corriente principal se limita a la información en el superficie o frontera de un agujero negro, despreciando el contenido de información del volumen, aunque no toda ella pueda codificarse en la superficie. Hemos visto al principio de esta subsección que el enfoque de Haramein también considera la información del volumen.

La naturaleza de la holografía, el principio holográfico y la entropía máxima de un agujero negro son explorados por Haramein, quien propone un enfoque holográfico generalizado en términos de la entropía de la superficie y del volumen de un sistema esférico [1,2]. De este modo, se resuelve la paradoja de la información. En la siguiente sección, daremos un breve resumen de este enfoque y sus resultados.

Si el lector quiere profundizar en la física y las ecuaciones del principio holográfico explicado en esta sección, puede leer el Apéndice A debajo. 

Apéndice A

Como un agujero negro también obedecería las leyes de la termodinámica, su entropía o información total (la de su superficie más la de su volumen) obedece a una segunda ley generalizada de la termodinámica en la que la entropía de la superficie del agujero negro más la entropía de su interior nunca disminuye.

^{Imagen: Segunda Ley: Primer cuadro: Agujeros negros: la superficie de un agujero negro no decae. Segundo cuadro: Termodinámica clásica: la entropía de un sistema aislado no decae.}

Esta relación entre la física de los agujeros negros y la termodinámica también existe entre la primera ley de la mecánica de los agujeros negros y la primera ley de la termodinámica.

La primera ley de la mecánica de los agujeros negros:

nos da la masa M en términos de la gravedad superficial κ, el área superficial A, la velocidad angular Ω, el momento angular J, un potencial electrostático Φ y la carga eléctrica Q, y es inversamente proporcional a la constante gravitacional G. Nótese que para un agujero negro de Schwarzschild, el momento angular J y la carga eléctrica Q se fijan en cero. Es decir, este agujero negro en particular no gira y no tiene carga, lo que no es más que una situación idealizada que nos permite resolver algunas ecuaciones de forma analítica (en realidad, todos los agujeros negros giran porque están formados por unidades que giran y el momento angular se conserva siempre, y como hemos mencionado a lo largo de este curso, el giro es inherente al espacio).

Mientras que la primera ley de la termodinámica determina la energía de un sistema en función de su temperatura T, su entropía S, su presión P y su volumen V mediante la siguiente ecuación, y donde dE, dS y dV expresan el cambio infinitesimal de cada uno:

Cuando no hay carga, el último término de la Ec. (3) se hace cero, y podemos ver claramente la analogía entre la Ec. (3) y la Ec. (4), como se explica en la figura siguiente.

^{Imagen: Primera Ley. En el primer cuadro: Agujeros negros: relaciona el cambio de masa con el cambio de superficie y el cambio de momento angular. Segundo cuadro: Termodinámica clásica: relaciona el cambio de energía con el cambio de entropía y el cambio de volumen.}

Las cantidades A y κ del agujero negro tienen una estrecha analogía con la entropía y la temperatura respectivamente, por lo que igualando los primeros términos del lado derecho de cada ecuación (Ec. (3) y Ec. (4)), Bardeen, Carter y Hawking [9] pudieron demostrar que,

Entonces, Hawking predijo en 1974 la emisión espontánea de la radiación térmica de los agujeros negros (que surge de la conversión de las fluctuaciones cuánticas del vacío en pares partícula-antipartícula) con una temperatura dada por [10,11]:

donde k_B es la constante de Boltzmann y τ_k es el tiempo de vida característico del pulso de luz emitido por la materia infalible y se considera como el tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia 2r_S, donde r_S es el radio de Schwarzschild (el radio de Schwarzschild obtenido como solución de las ecuaciones de campo de Einstein para un agujero negro no giratorio y sin carga descrito como un cuerpo esférico. El radio de Schwarzschild se considera el límite o frontera del agujero negro; dentro de este radio nada podría escapar).

Podemos sustituir la definición anterior de la temperatura de Hawking por la Ec. (6) e incluir un factor c² / k_B para que la entropía pueda ser dada en unidades adimensionales como

donde, l² reemplaza a (G h)/c³ como se indica en la definición de la longitud de Planck.

^{Imagen: Esta es la ecuación que Stephen Hawking quizo que fuera impresa es su lápida. Esta ecuación se conoce como la ecuación de Hawking y denota la entropía de un Agujero Negro.}

Nota al lector: Este articulo forma parte del Módulo 7, sección 7.1.2 del curso gratuito de Ciencia Unificada, al cual puedes acceder en este enlace de Resonance Academy.   

Referencias: 

[1] N. Haramein, Phys. Rev. Res. Int. 3, 270 (2013).

[2] N. Haramein, e-print https://doi.org/10.31219/osf.io/4uhwp (2013).

[3] N. Haramein and A. K. F. Val Baker, Journal of High Energy Physics Gravitation and Cosmology 5, 412 (2019).

[4] D. Bohm, B. J. Hiley and A. E. G. Stuart, Int J Theor Phys 3, 171 (1970).

[5] D. Bohm, Wholeness and the Implicate Order (Routledge, London, 1980).

[6] J. D. Bekenstein, Nuovo Cim. Lett. 4, 737 (1972).

[7] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 7, 2333 (1973).

[8] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 9, 3292 (1974).

[9] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 23, 287 (1981).

[10] G. 't Hooft, e-print arXiv:gr-qc/9310026 (1993). 

[11] G. 't Hooft, in Basics and Highlights in Fundamental Physics (Proceedings of the International School of Subnuclear Physics, Erice, Sicily, Italy, 2000)

[12] R. Bousso, Rev. Mod. Phys. 74, 825 (2002).

[13] L. Susskind, J. Math. Phys. 36, 6377 (1995).