Un Sorprendente Orden Oculto une los Números Primos y Materiales Parecidos a los Cristales

Por:  Kevin Mcelwee, Princeton University. Traducido por Resonance Science Foundation.

Los dígitos aparentemente aleatorios conocidos como números primos no son tan dispersos como se pensaba. Un nuevo análisis realizado por investigadores de la Universidad de Princeton ha descubierto patrones en los números primos que son similares a los encontrados en las posiciones de los átomos dentro de ciertos materiales parecidos al cristal.

Los investigadores descubrieron una sorprendente similitud entre la secuencia de números primos en largos tramos de la línea numérica y el patrón que resulta de iluminar con rayos X un material para revelar la disposición interna de sus átomos. Según los investigadores, el análisis podría llevar a predecir los números primos con gran precisión. El estudio se publicó en la revista Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment.

"Hay mucho más orden en los números primos de lo que se había descubierto hasta ahora", dijo Salvatore Torquato, profesor de Ciencias Naturales Lewis Bernard de Princeton, profesor de química (chemistry ) y del Instituto de Ciencia y Tecnología de los Materiales de Princeton.

"Demostramos que los primos se comportan casi como un cristal o, más exactamente, de forma similar a un material parecido a un cristal llamado 'cuasicristal'.

Los primos son números que sólo pueden dividirse por 1 y por sí mismos. Los números primos muy grandes son los componentes de muchos sistemas de criptografía. Los primos parecen estar esparcidos al azar a lo largo de la línea numérica, aunque los matemáticos han discernido cierto orden. Los primeros primos son el 2, 3, 5, 7 y 11, y se vuelven más esporádicos a medida que se avanza en la línea numérica.

Torquato y sus colegas han descubierto que, cuando se consideran grandes franjas de la recta numérica, los números primos están más ordenados de lo que se creía, entrando en la clase de patrones conocidos como "hiperuniformidad".

Los materiales hiperuniformes presentan un orden especial a grandes distancias e incluyen cristales, cuasicristales y sistemas desordenados especiales. La hiperuniformidad se encuentra en la disposición de las células cónicas de los ojos de las aves, en ciertos meteoritos raros y en la estructura a gran escala del universo.

El equipo demostró que el orden que encontraron en los números primos se corresponde con el patrón que resulta cuando los rayos X interactúan con ciertas formas de materia. Como químico, Torquato está familiarizado con la cristalografía de rayos X, que consiste en hacer brillar los rayos X a través de la red atómica tridimensional de un cristal. En el caso de los diamantes u otros cristales, el resultado es un patrón predecible de puntos brillantes o picos, conocidos como picos de Bragg.

En comparación con los cristales típicos, los cuasicristales presentan una disposición distinta y más compleja de los picos de Bragg. Los picos de un cristal típico se forman a intervalos regulares con espacios vacíos entre ellos. En los cuasicristales, entre dos picos de Bragg seleccionados hay otro pico de Bragg.

El patrón que Torquato y sus colegas descubrieron en los números primos es similar al de los cuasicristales y al de otro sistema llamado orden límite-periódico, pero difiere lo suficiente como para que los investigadores lo llamen orden "efectivamente límite-periódico". Los números primos aparecen en agrupaciones "autosimilares", lo que significa que entre picos de cierta altura hay agrupaciones de picos más pequeños, y así sucesivamente.

El equipo descubrió fuertes indicios de dicho patrón utilizando simulaciones por ordenador para ver qué ocurriría si los números primos se trataran como una cadena de átomos sometidos a rayos X. En un trabajo publicado en el Journal of Physics A en febrero, los investigadores informaron de que habían encontrado un sorprendente patrón de picos similares a los de Bragg, lo que indicaba que los patrones de los números primos estaban muy ordenados.

El estudio actual utiliza la teoría de los números para proporcionar una base teórica a esos experimentos numéricos anteriores. Los investigadores se dieron cuenta de que, aunque los números primos parecen aleatorios en intervalos cortos, según Torquato, en tramos suficientemente largos de la recta numérica, se puede dar sentido a números que de otro modo parecerían caóticos.

"Cuando llegas a ese distinguido límite, "¡Boom!", dijo, chasqueando los dedos. "La estructura ordenada salta".

Torquato es coautor del artículo con GGe Zhang, que obtuvo su doctorado en química en 2017, y el estudiante de posgrado en matemáticas Matthew de Courcy-Ireland.

De Courcy-Ireland dijo que patrones numéricos similares fueron descritos por el "método del círculo" desarrollado hace casi un siglo para encontrar patrones en los primos. "Para mí, lo interesante es tomar estos resultados, que se remontan a 1922, y reformularlos de manera que se obtenga un nuevo ejemplo, un sistema con un montón de propiedades que es muy interesante, y uno que tal vez podría señalar el camino hacia donde se podrían buscar más ejemplos físicos", dijo.

El descubrimiento puede ayudar a la investigación tanto en matemáticas como en ciencia de los materiales. "Los números primos tienen hermosas propiedades estructurales, como el orden inesperado, la hiperuniformidad y el comportamiento efectivo del límite periódico", dijo Torquato. "Los números primos nos enseñan un estado de la materia completamente nuevo".

"Lo fascinante de este trabajo es que nos da una perspectiva diferente de los primos: en lugar de verlos como números, podemos verlos como partículas e intentar trazar su estructura mediante difracción de rayos X", dijo Henry Cohn, investigador principal de Microsoft Research que no participó en el estudio. "Resulta que nos da el mismo tipo de información que los métodos tradicionales de la teoría de los números, y encaja perfectamente con los trabajos anteriores. Es una nueva y hermosa perspectiva de esta información, y abre nuevas conexiones con la ciencia de los materiales y la teoría de la dispersión".

El estudio, titulado "Uncovering multiscale order in the prime numbers via scattering", de Salvatore Torquato, Ge Zhang y Matthew de Courcy-Ireland, se publicó en el Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment el 5 de septiembre (DOI: 10.1088/1742-5468/aad6be). El trabajo fue financiado por la National Science Foundation (DMR-1714722) y el Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada. También se ha publicado en línea online un conjunto más detallado de pruebas.

Artículo: Surprising hidden order