El Rompecabezas de 36 Piezas de Euler ¡Tiene una Solución Cuántica!

^{Por Dra. Inés Urdaneta / Física e investigadora de Resonance Science Foundation}

¿En qué consiste este problema, con más de 240 años de antigüedad?

Leonhard Euler (1707 - 1783), matemático y físico suizo, es más popularmente conocido por su gloriosa ecuación llamada identidad de Euler: e^iθ + 1 = 0, dibujada abajo.

^{Interpretación geométrica de la identidad de Euler, donde i representa el eje imaginario del plano complejo.}

Sus contribuciones en matemática han resultado indispensables para el desarrollo de la física, en particular de la mecánica cuántica. Como si fuera poco, el conocido rompecabezas de Euler, y su reciente solución cuántica, posiblemente marcará un hito en la computación cuántica, y en la teoría de la información. El rompecabezas como tal consiste en lo siguiente: Euler había examinado el problema de si al tener seis regimientos diferentes, cada uno con seis oficiales de diferentes rangos, podían estos 36 oficiales estar dispuestos en un cuadrado de 6x6, de manera que cada fila y columna contenga un oficial de cada rango y regimiento, sin que se repitan en la fila o columna …

Por ejemplo, en una situación hipotética para dimensión 4 (d = 4, es decir 4 categorías y 4 subcategorías), en donde las categorías fueran la forma del objeto (cuadrado, círculo, triángulo, y estrella) y las subcategorías fueran colores (azul, verde, rojo y amarillo), la solución donde no se repite color ni forma en ninguna de las filas o columnas, y donde, además, cada forma tiene un color distinto, es la que se muestra a continuación:

^{Imagen por Inés Urdaneta, para Resonance Science Foundation}

La condición no se cumple para las diagonales, donde se repiten tanto forma como color. Sin embargo, en las diagonales principales que van desde cada esquina del cuadrado, hay la misma forma siempre (cuadrado en una diagonal, y estrellas en la otra diagonal que la intersecta), y por lo tanto solo en esas dos diagonales los colores difieren. Diremos que esta solución resulta en una diagonalización.

Euler observó que tal disposición era imposible para una dimensión d = 6. Efectivamente, para la dimensión d = 2 y d = 6, esta solución no existe, como fue demostrado mucho más tarde.

Sin embargo, un grupo conformado por físicos cuánticos de la India y de Polonia demostraron que el análogo cuántico de este problema, si tiene una solución analítica, y ello tiene implicaciones muy importantes para varias áreas de la teoría de la información, y de la computación cuántica. Los resultados de tal investigación se recopilaron en un trabajo titulado “Thirty-six entangled officers of Euler: Quantum solution to a classically impossible problem” (Treinta y seis oficiales entrelazados de Euler: Solución cuántica a un problema clásicamente imposible) que acaba de ser enviado a publicación al Physical Review Letters, la revista mas importante de física.

Este gran hallazgo requirió el uso de algoritmos basados en propiedades cuánticas, en especial, la superposición de estados. En términos simples, una superposición de estados sería por un ejemplo, estados que constan de una combinación particular de rango y regimiento para cada oficial. O en el caso de las figuras geométricas y colores, un oficial cuántico sería un estado que consta de, por ejemplo, una combinación de un cuadrado azul y una estrella amarilla, sopesados por coeficientes que son valores numéricos que dictaminan el peso o proporción de una categoría, con respecto a otra.  Tales coeficientes se conocen formalmente como amplitudes.

El algoritmo va realizando combinaciones posibles y calculando amplitudes, hasta llegar a convergencia, punto en el cual ha mostrado todas las opciones posibles. Los resultados fueron impactantes, por dos razones principalmente. Primero, porque la solución que se encontró fue con estados que estaban entrelazados (es decir, que no se pueden descomponer de los estados puros de las categorías base), y el nivel de entrelazamiento era máximo, característica que es muy difícil de encontrar. Es decir, esta herramienta permitió encontrar estados cuánticos de máximo entrelazamiento, de forma muy sistemática y sencilla.  

En segundo lugar, los investigadores encontraron que la proporción áurea determina todas las amplitudes que aparecen en la solución de máximo entrelazamiento, razón por la que ese estado recibió el nombre de estado de máximo entrelazamiento áureo.

Para visualizar la solución/entrelazamiento entre los oficiales cuánticos de Euler, observamos en la figura de abajo, la posición de cada oficial; i-ésima fila y j-ésima columna, se presenta en la correspondiente fila y columna en la matriz. Los rangos y regimientos de los oficiales se representan en forma de cartas con rangos y palos correspondientes. El grado de cada oficial está en una superposición de cuatro grados básicos: dos rangos, y dos regimientos. El tamaño de la letra de cada cota corresponde a la magnitud de la amplitud del elemento relacionado. Una solución clásica del problema de Euler correspondería a la matriz con una sola carta en cada casilla.

^{Visualización de la solución/entrelazamiento entre los oficiales cuánticos de Euler. Figura tomada del preprint.}

Observamos que las estructuras que surgen en la matriz, por ejemplo, los ases, están entrelazados con los reyes porque solo aparecen con los reyes, las reinas solo con las sotas y los 10 solo con los 9. Es decir, solo se entrelazan con los vecinos inmediatos. Además, los colores de las cartas no están entrelazadas entre sí. Por lo tanto, los oficiales se agrupan en nueve conjuntos con cuatro elementos, cada uno de los cuales comparte los mismos pares de figuras y colores de la carta.

_{RSF en perspectiva:}

Este resultado es muy impresionante, porque significa que el entrelazamiento es lo que origina o hace posible la solución a este problema.

El otro factor digno de mención es la aparición inesperada de la proporción áurea. El próximo artículo de Nassim Haramein que esta por salir, titulado “Invarianza bajo escalas en la unificación de campos, fuerzas y partículas en el plasma del vacío cuántico”, se muestra como la proporción aurea emerge de la proporción holográfica de Haramein. Dicho trabajo vendrá de la mano del Módulo 8, “La ley de escalamiento Universal”, y una vez que hayan sido publicados, podremos ahondar en más detalles sobre esta extraordinaria solución de máximo entrelazamiento áureo.